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现在我们要证明1+1=2。
因为1=0,所以1+1可以写成1+0。
根据加法定义m+n=(m+n),当m=1,n=0时,1+0=(1+0)。
又因为前面已经证明1+0=1,所以(1+0)=1。
而我们之前定义2=1,所以1+1=2。
林云完成了基于皮亚诺公理体系的证明后,并没有停下思考的脚步。
他知道,数学的证明方法是多样的,从不同的角度出发,可能会得到不同的证明思路。
他开始思考集合论的方法。
在集合论中,数可以用集合来表示。
林云在笔记本上画下了一些简单的集合图形,开始从集合的角度进行证明。
他写道:“我们可以用集合的基数来定义自然数。
空集的基数为0,即|?|=0。”
然后,他定义了一个只包含空集的集合,这个集合的基数就是1,即|{?}|=1。
接着,他定义了一个包含前面两个集合的集合,这个集合的基数就是2,即|{?,{?}}|=2。
对于加法,他这样解释:“两个不相交集合的并集的基数等于这两个集合基数的和。”
他在纸上画了两个不相交的圆,分别代表两个集合A和b。
假设集合A的基数为1,即|A|=1,集合b的基数也为1,即|b|=1。
那么A和b的并集c=Aub。
因为A和b不相交,所以根据集合论中并集基数的定义,|c|=|A|+|b|。
又因为|A|=1,|b|=1,且c={?,{?}}(通过前面集合的定义可以得出),|c|=2。
所以1+1=2。
林云觉得这样的证明还不够直观,他又想到了从逻辑推理的角度来证明。
他在笔记本上写下了一系列的逻辑符号和推理过程:
设命题p(n)表示“1+n=(n+1)”
。
首先证明p(0)成立,即1+0=0+1。
根据加法的交换律(在数学体系中,加法交换律是可以通过公理推导出来的,这里为了简化证明过程,直接使用),1+0=0+1=1,所以p(0)成立。
假设p(k)成立,即1+k=(k+1)。
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